Macam Macam Metode Numerik Selain Metode Iterasi
Berikut adalah macam macam metode numerik selain metode iterasi:
1. Metode Bisection
Metode biseksi ini adalah metode untuk mencari akar-akar dari sebuah fungsi dengan cara menghitung nilai fungsi f(x) dari 2 nilai X : (X1,X2) yang diberikan, dan diharapkan nilai f(X1).f(X2)< xmid=”(X1+X2)/2.” baru =” (Xmid”>
Metode numerik untuk mendapatkan harga x untuk f(x) = 0 seperti uraian di pasal 2.1 disebut METODE BISECTION. Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari. Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a)×f(b) <>
Dengan rumusan m = (a+b)/2, diperiksa apakah nilai mutlak f(m) <>-6 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila f(a)*f(m) < a =” m”> 0; proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.
Metode Bisection adalah salah satu kelas metode Pengelompokan, karena prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan kelompok akar. Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi penentuan nilai x. Misalnya, tidak digunakannya ukuran relatif f(a) dan f(b), karena umumnya jika f(a) <>
Penetapan m ini dikenal dengan cara REGULA FALSI dan algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan : m =a-[(b-a)x f(b)/f(b)-f(a)
Metode Bisection ini paling sederhana dan paling intractif dari metode pendekatan berturut-turut untuk melokalisasi sebuah persamaan akar f(x) = 0 dalam selang [a,b].
Metode ini didasrkan pada teorema nilai antara untuk fungsi kontinu., yang menyatakan pada suatu selang [a,b] sedemikian sehingga titik-titik ujung f berlawanan tanda, missal f(a) <> 0, harus mengandung suatu akar. Metode ini merupakan pengulangan pembagiduaan selang yang memenuhi teorema di atas. Oleh karena itu metode ini disebut metode bagi dua.
Algoritma Metode Bisection
Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a, sedemikian rupa sehingga: f (a) × f (b) £ 0
Algoritma BISECT(f,a,b,akar,e,iter,itmax,flag)
1. Tebak harga interval [a,b]; tentukan e; dan itmax
2. Set f0 = f(a); iter = 0; flag = 0;
3. Tentukan atau hitung akar = c := (a + b)/2; iter = iter + 1;
4. Jika f(a)·f(c) £ 0 maka b = c jika tidak a = c dan f0 = f(a);
5. Jika (b – a) £ e maka flag = 1 jika iter >itmax maka flag = 2;
6. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 3;
7. Akar persamaan adalah: akar = (a + b)/2,sebagai akar terbaru;
8. Selesai.
Listing Program Metode Bisection
Diberikan persoalan untuk mengitung akar (akar-akar) persamaan f(x) = 0, sebagai berikut: f (x) º x– e1 x = 0
Listing program sederhana (non-subroutine) dan program dengan subroutine disertakan dalam gambar-gambar 5.2. dan 5.3. di bawah ini, yang ditulis dalam Bahasa FORTRAN 77 (kompatibel dengan Bahasa FORTRAN 90/95).
Bagan Alir Metode Bisection:
2. Metode False Position
Metode posisi palsu adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval yang mengurung akar. Metode ini merupakan salah satu alternatif untuk mempercepat konvergensi. Idenya adalah menghitung akar (yang merupakan titik ujung interval baru) yang merupakan absis untuk titik potong antara sumbu x dengan garis lurus yang melalui kedua titik yang absisnya adalah titik-titik ujung interval lama. Lihat gambar grafiknya dibawah ini untuk mendapatkan pemahaman visual yang lebih baik.
Berkaitan dengan grafik diatas, terdapat rumus tentunya untuk mecari akar-akar tersebut. Logikanya, diasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval [an,bn] dan f(an) . f(bn) < 0. Garis ang melalui titik (an , F(an)) dan ((bn , F(bn)) memiliki persamaan seperti dibawah ini.
Garis memotong sumbu x jika y = 0, sehingga diperoleh titik absis sebagai hampiran akar yaitu
x. Proses untuk metode posisi palsu adalah seperti metode bagi dua tetapi penghitungan
xn menggunakan rumus dibawah ini
3. Metode Newton – Raphson
– Menentukan akar persamaan non linear menggunakan metode Newton Raphson dengan interval yang memuat akar [x0, x1].
– Metode ini akan manghasilkan garis singgung di titik P(x1 ; f(x1)) dan garis akan memotong sumbu x di titik x2. Persamaan garis singgung: y – f(x1) = f’ (x1) (x – x1) dan x2 = x1 – [f(x) : f’(x)]
Mungkin perlu diingat
– Persamaan garis singgung: y – y1 = m(x – x1)
– Turunan differensial y = a . n –> y’ = a . n . x^n-1
Contoh: y = 5x3 – 7x2 + 8x + 10 –> y’ = 15x2 – 14x + 8
Cara menentukan interval nya:
- Tentukan x1 sebagai pendekatan awal (untuk tingkat pertama, bebas).
- Tentukan nilai f(x1)
- Tentukan turunan differensial f’(x) [dibaca f aksen x] dari persamaan non linear f(x) dan cari nilainya
- Tentukan x2
- Tulis interval-nya [ilustrasi menentukan interval seperti metode sekan]
Contoh Soal:
Tentukan akar dari f(x) = x3 – 2x – 5 dengan metode Newton Raphson
Jawab:
1. Menentukan akar f(x) = x3 – 2x – 5 tingkat pertama
– Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil nilai sembarang)
x0 = 2 dan x1 = 3
– Menentukan f(x1)
f(x1) = x3 – 2x – 5
f(3) = 33 – 2.3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16
– Menentukan turunan f’(x) dan nilainya
f(x) = x3 – 2x – 5 –> f’(x) = 3x2 – 2
f’(3) = 3 . 32 – 2 = 27 – 2 = 25
– Menentukan x2
x2 = x1 – [f(x) : f’(x)] = 3 – [16 : 25] = 3 – 0,64 = 2,36
– Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,36]
2. Menentukan akar f(x) = x3 – 2x – 5 tingkat kedua
– Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah satu)
x0 = 2 dan x1 = 2,36
– Menentukan f(x1)
f(2,36) = (2,36)3 – 2 . (2,36) – 5 = 13,144 – 4,72 – 5 = 3,424
– Menentukan nilainya f’(x)
f’(2,36) = 3 . (2,36)2 – 2 = 16,709 – 2 = 14,709
– Menentukan x2
x2 = 2,36 – [3,424 : 14,709] = 2,36 – 0,233 = 2,127
– Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,127]
3. Menentukan akar f(x) = x3 – 2x – 5 tingkat ketiga
– Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah kedua)x
x0 = 2 dan x1 = 2,127
– Menentukan f(x1)
f(2,127) = (2,127)3 – 2 . (2,127) – 5 = 9,623 – 4,254 – 5 = 0,369
– Menentukan nilainya f’(x)
f’(2,127) = 3 . (2,127)2 – 2 = 13,572 – 2 = 11,572
– Menentukan x2
x2 = 2,127 – [0,369 : 11,572] = 2,127 – 0,032 = 2,095
– Menentukan interval
– Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,095 ; 2,127]. Karena nantinya x1 (nilai 2,127) menjadi sama dengan tingkat kedua maka interval yang benar adalah [2 ; 2,095].
4. Menentukan akar f(x) = x3 – 2x – 5 tingkat keempat
– Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah ketiga)
x0 = 2 dan x1 = 2,095
– Menentukan f(x1)
f(2,095) = (2,095)3 – 2 . (2,095) – 5 = 9,195 – 4,19 – 5 = 0,005
– Menentukan nilainya f’(x)
f’(2,095) = 3 . (2,095) 2 – 2 = 13,167 – 2 = 11,165
– Menentukan x2
x2 = 2,095 – [0,005 : 11,165] = 2,095 – 0,0005 = 2,0945
– Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,0945 ; 2,095]. Karena nantinya x1 (nilai 2,095) menjadi sama dengan tingkat ketiga maka interval yang benar adalah [2 ; 2,0945].
4. Metode Secant
Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear.
Dengan prinsip utama :
– Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh 2 titik akhir.
– Nilai taksiran akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x
Langkah penyelesaian:
– Tentukan nilai awal x0 dan x1
– Hitung f(x0) dan f(x1), kemudian cek konvergensi f(x0) dan f(x1)
– Lakukan iterasi
– Hitung nilai taksiran akar selanjutnya.
rumus:
f(xk) (xk-xk-1) f(x2) (x2-x1)
xk+1= xk – ……………………………………… atau x3 = x2 – …………………………………….
f(xk) – f( xk-1) f(x2) – f( x1)
Menentukan dua nilai f(x1) dan f(x2) dengan syarat :
f(x1)*f(x2)<0, misal nilai x1=2.5 dan x2=2.6 maka :
F(x1) = (2.5)3-7(2.5)+1 = -0.8750
F(x2) = (2.6)3-7(2.6)+1 = 0.3760
Di dapat F(x1)*f(x2) < 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 2.5 dan x2 = 2.6.
Membuat tabel fungsi F(x) di sekitar f(x1) dan f(x2).
Membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda fungsi F(x) pada tabel ke 1, yaitu terjadi pada baris ke 8 dan 9. maka table ke 2:
Dan seterusnya mengulangi langkah ke 3 yaitu membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada f(x) pada tabel sebelumnya. Proses dihentikan jika didapatkan kesalahannya relative kecil dan biasanya lebih kecil dari 10-7.
Menentukan dua nilai f(x1) dan f(x2) dengan syarat :
f(x1)*f(x2)<0, misal nilai x1=2.5 dan x2=2.6 maka :
F(x1) = (2.5)3-7(2.5)+1 = -0.8750
F(x2) = (2.6)3-7(2.6)+1 = 0.3760
Di dapat F(x1)*f(x2) < 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 2.5 dan x2 = 2.6.
Membuat tabel fungsi F(x) di sekitar f(x1) dan f(x2).
Membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda fungsi F(x) pada tabel ke 1, yaitu terjadi pada baris ke 8 dan 9. maka table ke 2:
Dan seterusnya mengulangi langkah ke 3 yaitu membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada f(x) pada tabel sebelumnya. Proses dihentikan jika didapatkan kesalahannya relative kecil dan biasanya lebih kecil dari 10-7.
iterasi akan berhenti jika mendapatkan akar dengan :
contoh :
untuk f( xk+1) =0
cari salah satu akar dari persamaan f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 dimana x1 = 1, x2 = 2
jawab:
f(1) = -4 f(2) = 3
iterasi I
x3 = x2 – (f(x2) (x2-x1) / f(x2)-f(x1) )
= 2 – (3 (2-1) / 3- (-4)) = 1,57142
f (1,57142) = -1,36449
iterasi II
x4 = x3 – (f(x3) (x3-x2) / f(x3)-f(x2) )
= 1,57142 – (-1,36449 (1,57142 -2) / -1,36449 – (3)) = 1,70540
f (1,70540) = -0,24774
iterasi III
x5 = x4 – (f(x4) (x4-x3) / f(x4)-f(x3) )
= 1,70540 – (-0,24774 (1,70540-1,57142) / -0,24774- (-1,36449)) = 1,73514
f (1,73514) = 0,02925
iterasi IV
x6 = x5 – (f(x5) (x5-x4) / f(x5)-f(x4) )
= 1,73514 – (0,02925 (1,73514 -1,70540) / 0,02925- (-0,24774)) = 1,73200
f (1,73200) = -0,00051
iterasi V
x7 = x6 – (f(x6) (x6-x5) / f(x6)-f(x5) )
= 1,73200– (-0,00051 (1,73200-1,73514) / -0,00051- (0,02925)) = 1,073205
f (1,073205) = 0
maka akarnya adalah 1,073205
5. Metode Tabulasi
Metode Tabulasi adalah metode penyelesaian persamaan nonlinear dengan cara membuat tabel-tabel persamaan atau fungsi non-linear di sekitar titik penyelesaian.
Tentukan akar penyelesaian dari persamaan non-linear f(x)=x3-7x+1=0 dengan Metode Tabulasi:
Jaawab:
Menentukan dua nilai f(x1) dan f(x2) dengan syarat :
f(x1)*f(x2)<0, misal nilai x1=2.5 dan x2=2.6 maka :
F(x1) = (2.5)3-7(2.5)+1 = -0.8750
F(x2) = (2.6)3-7(2.6)+1 = 0.3760
Di dapat F(x1)*f(x2) < 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 2.5 dan x2 = 2.6.
Menentukan dua nilai f(x1) dan f(x2) dengan syarat :
f(x1)*f(x2)<0, misal nilai x1=2.5 dan x2=2.6 maka :
F(x1) = (2.5)3-7(2.5)+1 = -0.8750
F(x2) = (2.6)3-7(2.6)+1 = 0.3760
Di dapat F(x1)*f(x2) < 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 2.5 dan x2 = 2.6.
Membuat tabel fungsi F(x) di sekitar f(x1) dan f(x2).
Membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda fungsi F(x) pada tabel ke 1, yaitu terjadi pada baris ke 8 dan 9. maka table ke 2:
Dan seterusnya mengulangi langkah ke 3 yaitu membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada f(x) pada tabel sebelumnya. Proses dihentikan jika didapatkan kesalahannya relative kecil dan biasanya lebih kecil dari 10-7.
Maka akar pendekatanya adalah nilai x = 2.57120143 dengan kesalahannya = 9.5576979220*10-8
